blog @ bjerck.net
Login RegisterPraktisk utregning av integralet i $\mathbb{R}^2$ - Repetisjon - Råtekst
by: tomIgjen gitt en kontinuerlig funksjon $f:A \in \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, og et rektangel $\u{R} = [a,b]\times[c,d]$. Riemann-summer gir en algoritme som lett kan implementeres i en datamaskin for å regne ut integralet over R, men det ville være interessant om vi kan finne en måte å beregne integralet symbolsk. For å komme frem til en generell metode er det naturlig å ta utgangspunkt i riemannsummer. Som vi husker er: $$ R(U,f) = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(\mathbf{u}_{ij})\cdot |R_{ij}| $$ Der U er mengden av utplukk fra en gitt partisjon $\Pi$. $R_{ij}$ er delrektangler definert ved en partisjon $\Pi_k$ av R. Maskevidden til $\Pi_k \rightarrow 0$, når $k \rightarrow \infty$ Vet at: $$ R_{ij} = |x_i - x_{i-1}| \cdot |y_j - y_{j-1}| $$ Slik at: $$ \begin{align} R(U,f) & = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(\mathbf{u}_{ij})\cdot \left( |x_i - x_{i-1}| \cdot |y_j - y_{j-1}| \right)\\ & = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m f(x_i, y_j)\cdot |x_i - x_{i-1}| \right) \cdot |y_j - y_{j-1}| \end{align} $$ Siden maskevidden $\rightarrow 0$ når $k \rightarrow \infty$, så vil nødvendigvis også $|x_i - x_{i-1}| \rightarrow 0$.
created: 2011-04-23 12:33:00. Permalink