blog @ bjerck.net
Login RegisterKap 6 - Riemannintegralet i $\R^2$.
by: tomSom i forrige post har er vi gitt en kontinuerlig funksjon $f:A\subseteq\R^2\rightarrow\R$, et rektangel R = $[a,b]\times[c,d]$ og en partisjon $\Pi$ av R. $\u{R}_{ij}$ refererer til det ij-te delrektanglet i partisjonen.
Som for $\R\rightarrow\R$ kan vi gjøre et utplukk, dvs fra $\u{R}_{ij}$ velger vi et vilkårlig punkt. Betegn dette punktet $\mathbf{u}_{ij}$. Mengden av alle slike punkter fra R kan vi betegne med U. Anta som før at $\u{m}_{ij}$ og $\u{M}_{ij}$ er henholdsvis infimum og supremum til f på $\u{R}_{ij}$. Riemann-summen til $f$ over U er da:
$$
R(\u{U},f) = \sum_1^m \sum_1^n f(\mathbf{u}_{ij}) \cdot |\u{R}_{ij}|
$$
Vet at:
$$
\u{m}_{ij} \le f(\mathbf{u}_{ij}) \le \u{M}_{ij}
$$
Dermed er:
$$
\sum_1^m \sum_1^n m_{ij} \cdot |R_{ij}| \le R(\u{U},f) \le \sum_1^m\sum_1^n M_{ij} \cdot |R_{ij}|
$$
Anta nå at vi har en følge $\{\Pi_{k}\}$ av partisjoner der maskevidden $\rightarrow 0$, og tilhørende utplukk $\u{U}_k$. Da gjerlder at $R(\u{U}_k,f) = \sum_1^m \sum_1^n f(\mathbf{u}_{ij}^k) \cdot |\u{R}_{ij}| \rightarrow \iint_R f(x,y)\ud x\ud y$, når $k \rightarrow \infty$. Bevis:
Siden $f$ er kontinuerlig, så er $f$ også uniformt kontinuerlig. Gitt en $\varepsilon \gt 0$, så fins en $\delta \gt 0$, slik at for alle $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v} \in |\mathbf{u} - \mathbf{v}| \lt \delta$, så er $|f(\mathbf{u}) - f(\mathbf{v})| \lt \frac{\varepsilon}{|R|}$. Videre fins en $\u{N} \in \mathbb{N}$ slik at for alle $k \gt \u{N}$, så er maskevidden til $\u{U}_k \lt \delta$. Dermed er vi garantert at for alle $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \u{R}_{ij}$, så er $|\mathbf{u} - \mathbf{v}| \lt \delta$, og dermed også at $|f(\mathbf{u}) - f(\mathbf{v})| \lt \frac{\varepsilon}{|R|}$. For en gitt partisjon $\Pi_k$ må vi da ha:
$$
sup\{f(\mathbf{u})\ |\ \mathbf{u}\in R_{ij}\} - inf\{f(\mathbf{v})\ |\ \mathbf{v}\in R_{ij}\} \le \frac{\varepsilon}{|R|}
$$
Likhet fordi supremum og infimum gir oss endepunktene i det åpne intervallet.
Multipliserer på begge sider med $|R_{ij}|$:
$$
sup\{f(\mathbf{u})\ |\ \mathbf{u}\in R_{ij}\} \cdot |R_{ij}| - inf\{f(\mathbf{v})\ |\ \mathbf{v}\in R_{ij}\} \cdot |R_{ij}| \le \frac{\varepsilon}{|R|} \cdot |R_{ij}|
$$
Summerer vi over alle delrektanglene $R_{ij}$ er differansen på venstre side ikke noe annet enn differansen mellom øvre og nedre trappesummer:
$$
\u{Ø}(\Pi_k) - \u{N}(\Pi_k) \le \varepsilon
$$
Vi kan altså få denne differansen så liten vi måtte ønske for alle partisjoner i følgen med index større enn N.
created: 2011-04-14 17:03:41. Permalink