Kap 6 - Definisjon av integrasjon i $\R^2$ Repetisjon - Råtekst

Først litt terminologi. En partisjon av et intervall $[a,b]$ i $\R$ er en inndeling i delintervall, slik at $a = x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n = b$. Maskevidden er lengden til det største intervallet. En partisjon i $\R^2$ er analogt. En partisjon er her en inndeling av et intervall langs hver av aksene i delinterval. F.eks. dersom $[a,b]$ er langs første akse og $[c,d]$ er langs andre akse, så lager vi delintervaller: $a=x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n = b$, og langs andre akse: $c = y_0 \lt y_1 \lt \dots \lt y_m = d$. Maskevidden er her den lengste diagonalen i partisjonen. Vi kan betegne et rektangel R i $\R^2$ som er begrenset av $x = a, x = b, y = c$ og $y = d$ i det cartesiske koordinatsystemet som $[a, b] \times [c, d]$

Den generelle ideen for integrasjon i $\R^2$ er analog til integrasjon i $\R$. Men istedet for å regne ut arealet under grafen til en funksjon, regner vi ut volumet under grafen. Anta at vi ønsker å finne en tilnærming til volumet under en funksjon $f(x,y)$ over et rektangel $R=[a,b]\times[c,d]$. Gitt en partisjon $\Pi$ av $R$. La $R_{ij}$ betegne det $ij$-te delrektanglet av R.
La videre: $$ \begin{align} m_{ij} & = inf\{f(x,y)|(x,y) \in R_{ij}\}\\ M_{ij} & = sup\{f(x,y)|(x,y) \in R_{ij}\} \end{align} $$ Hvis arealet av $R_{ij}$, dvs $(x_{i-1} - x_i)\cdot (y_{j-1}-y_j)$ betegnes med $\|R_{ij}\|$, og volumet under $f$ på $R_{ij}$ betegnes med $V_{ij}$, så må: $$ m_{ij} \cdot |R_{ij}| \lt V_{ij} \lt M_{ij} \cdot |R_{ij}| $$ For volumet under hele R kan vi nå definere øvre og nedre trappesummer, slik at: $$ N(\Pi)=\sum_0^n\sum_0^m m_{ij}\cdot |R_{ij}| \le V(R) \le \sum_0^n\sum_0^m M_{ij}\cdot |R_{ij}| = Ø(\Pi) $$ Der $V(R)$ er volumet som skal beregnes.
Overintegralet og underintegralet til $f$ over $R$ defineres som: $$ \begin{align} \overline{\iint_R} f(x,y) \ud x \ud y & = sup\{ Ø(\Pi)\ |\ \Pi \textrm{ er en partisjon av R} \}\\ \underline{\iint_R} f(x,y) \ud x \ud y & = sup\{ N(\Pi)\ |\ \Pi \textrm{ er en partisjon av R} \} \end{align} $$ Dersom over- og underintegralet er det samme, defineres $f$ å være integrerbar over R.

En funksjon $f:A\subseteq\R^n\rightarrow\R$ er uniformt kontinuerlig dersom det for enhver $\varepsilon \gt 0$ finnes en $\delta \gt 0$ slik at for alle $\mathbf{u}\ \u{og}\ \mathbf{v} \in A$ og $\|\mathbf{u - v}\| \lt \delta$, så er $\|f(\mathbf{u})-f(\mathbf{v})\| \lt \varepsilon$

Enhver kontinuerlig funksjon er også uniformt kontinuerlig.

Dersom f er kontinuerlig på R, så er f også integrerbar på R. Bevis:
Gitt en partisjon $\Pi$ av R, så vil enhver nedre trappesum være mindre enn eller lik enhver øvre trappesum, dvs: $$ \begin{align} N(\Pi_n) & \le Ø(\Pi_ø)\\ 0 & \le Ø(\Pi_ø) - N(\Pi_n) \end{align} $$ Dette betyr at:
1) Siden mengden av alle øvre trappesummer er begrenset nedad og ikketom, så eksisterer infimum for denne mengden. Tilsvarende for nedre trappesummer.
2) Dersom det kan vises at øvre og nedre trappesummer konvergerer mot samme verdi, så er betingelsene i definisjonen for integrerbarhet oppfylt.
Det holder å vise at gitt en $\varepsilon \gt 0$, så fins en $\Pi$ av R slik at $Ø(\Pi) - N(\Pi) \le \varepsilon$. Hvordan gjør vi det? Siden f er kontinuerlig, og følgelig uniformt kontinuerlig, så fins en $\delta \gt 0$, slik at for to punkter $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v} \in A$ og $|\mathbf{u}-\mathbf{v}| \lt \delta$, så er $|f(\mathbf{u}) - f(\mathbf{v})| \lt \frac{\varepsilon}{m \cdot n}$. Velger vi en $\Pi$ med maskevidde $\lt \delta$, så vil vi for $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v} \in \u{R}_{ij}$ ha at $|f(\mathbf{u}) - f(\mathbf{v})| \lt \frac{\varepsilon}{m \cdot n}$ Differansen mellom supremum og infimum til f på $\u{R}_{ij}$ kan ikke være større enn $\frac{\varepsilon}{m \cdot n}$. Vi får dermed at: $$ |\u{M}_{ij} - \u{m}_{ij}| \le \frac{\varepsilon}{m \cdot n} $$ Summerer vi dette over alle rektangler $\u{R}_{ij}$, får vi: $$ \sum_1^n\sum_1^m (\u{M}_{ij} - \u{m}_{ij}) \cdot |\u{R}_{ij}| \le \varepsilon $$