Praktisk utregning av integralet i $\mathbb{R}^2$ - Repetisjon - Råtekst

Igjen gitt en kontinuerlig funksjon $f:A \in \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, og et rektangel $\u{R} = [a,b]\times[c,d]$. Riemann-summer gir en algoritme som lett kan implementeres i en datamaskin for å regne ut integralet over R, men det ville være interessant om vi kan finne en måte å beregne integralet symbolsk. For å komme frem til en generell metode er det naturlig å ta utgangspunkt i riemannsummer. Som vi husker er: $$ R(U,f) = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(\mathbf{u}_{ij})\cdot |R_{ij}| $$ Der U er mengden av utplukk fra en gitt partisjon $\Pi$. $R_{ij}$ er delrektangler definert ved en partisjon $\Pi_k$ av R. Maskevidden til $\Pi_k \rightarrow 0$, når $k \rightarrow \infty$ Vet at: $$ R_{ij} = |x_i - x_{i-1}| \cdot |y_j - y_{j-1}| $$ Slik at: $$ \begin{align} R(U,f) & = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m f(\mathbf{u}_{ij})\cdot \left( |x_i - x_{i-1}| \cdot |y_j - y_{j-1}| \right)\\ & = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m f(x_i, y_j)\cdot |x_i - x_{i-1}| \right) \cdot |y_j - y_{j-1}| \end{align} $$ Siden maskevidden $\rightarrow 0$ når $k \rightarrow \infty$, så vil nødvendigvis også $|x_i - x_{i-1}| \rightarrow 0$.

Kap 6 - Riemannintegralet i $\R^2$.

Som i forrige post har er vi gitt en kontinuerlig funksjon $f:A\subseteq\R^2\rightarrow\R$, et rektangel R = $[a,b]\times[c,d]$ og en partisjon $\Pi$ av R. $\u{R}_{ij}$ refererer til det ij-te delrektanglet i partisjonen.

Som for $\R\rightarrow\R$ kan vi gjøre et utplukk, dvs fra $\u{R}_{ij}$ velger vi et vilkårlig punkt. Betegn dette punktet $\mathbf{u}_{ij}$. Mengden av alle slike punkter fra R kan vi betegne med U. Anta som før at $\u{m}_{ij}$ og $\u{M}_{ij}$ er henholdsvis infimum og supremum til f på $\u{R}_{ij}$. Riemann-summen til $f$ over U er da: $$ R(\u{U},f) = \sum_1^m \sum_1^n f(\mathbf{u}_{ij}) \cdot |\u{R}_{ij}| $$ Vet at: $$ \u{m}_{ij} \le f(\mathbf{u}_{ij}) \le \u{M}_{ij} $$ Dermed er: $$ \sum_1^m \sum_1^n m_{ij} \cdot |R_{ij}| \le R(\u{U},f) \le \sum_1^m\sum_1^n M_{ij} \cdot |R_{ij}| $$ Anta nå at vi har en følge $\{\Pi_{k}\}$ av partisjoner der maskevidden $\rightarrow 0$, og tilhørende utplukk $\u{U}_k$. Da gjerlder at $R(\u{U}_k,f) = \sum_1^m \sum_1^n f(\mathbf{u}_{ij}^k) \cdot |\u{R}_{ij}| \rightarrow \iint_R f(x,y)\ud x\ud y$, når $k \rightarrow \infty$. Bevis:
Siden $f$ er kontinuerlig, så er $f$ også uniformt kontinuerlig. Gitt en $\varepsilon \gt 0$, så fins en $\delta \gt 0$, slik at for alle $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v} \in |\mathbf{u} - \mathbf{v}| \lt \delta$, så er $|f(\mathbf{u}) - f(\mathbf{v})| \lt \frac{\varepsilon}{|R|}$. Videre fins en $\u{N} \in \mathbb{N}$ slik at for alle $k \gt \u{N}$, så er maskevidden til $\u{U}_k \lt \delta$. Dermed er vi garantert at for alle $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \u{R}_{ij}$, så er $|\mathbf{u} - \mathbf{v}| \lt \delta$, og dermed også at $|f(\mathbf{u}) - f(\mathbf{v})| \lt \frac{\varepsilon}{|R|}$. For en gitt partisjon $\Pi_k$ må vi da ha: $$ sup\{f(\mathbf{u})\ |\ \mathbf{u}\in R_{ij}\} - inf\{f(\mathbf{v})\ |\ \mathbf{v}\in R_{ij}\} \le \frac{\varepsilon}{|R|} $$ Likhet fordi supremum og infimum gir oss endepunktene i det åpne intervallet.
Multipliserer på begge sider med $|R_{ij}|$: $$ sup\{f(\mathbf{u})\ |\ \mathbf{u}\in R_{ij}\} \cdot |R_{ij}| - inf\{f(\mathbf{v})\ |\ \mathbf{v}\in R_{ij}\} \cdot |R_{ij}| \le \frac{\varepsilon}{|R|} \cdot |R_{ij}| $$ Summerer vi over alle delrektanglene $R_{ij}$ er differansen på venstre side ikke noe annet enn differansen mellom øvre og nedre trappesummer: $$ \u{Ø}(\Pi_k) - \u{N}(\Pi_k) \le \varepsilon $$ Vi kan altså få denne differansen så liten vi måtte ønske for alle partisjoner i følgen med index større enn N.

Kap 6 - Definisjon av integrasjon i $\R^2$ Repetisjon - Råtekst

Først litt terminologi. En partisjon av et intervall $[a,b]$ i $\R$ er en inndeling i delintervall, slik at $a = x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n = b$. Maskevidden er lengden til det største intervallet. En partisjon i $\R^2$ er analogt. En partisjon er her en inndeling av et intervall langs hver av aksene i delinterval. F.eks. dersom $[a,b]$ er langs første akse og $[c,d]$ er langs andre akse, så lager vi delintervaller: $a=x_0 \lt x_1 \lt \dots \lt x_n = b$, og langs andre akse: $c = y_0 \lt y_1 \lt \dots \lt y_m = d$. Maskevidden er her den lengste diagonalen i partisjonen. Vi kan betegne et rektangel R i $\R^2$ som er begrenset av $x = a, x = b, y = c$ og $y = d$ i det cartesiske koordinatsystemet som $[a, b] \times [c, d]$

Den generelle ideen for integrasjon i $\R^2$ er analog til integrasjon i $\R$. Men istedet for å regne ut arealet under grafen til en funksjon, regner vi ut volumet under grafen. Anta at vi ønsker å finne en tilnærming til volumet under en funksjon $f(x,y)$ over et rektangel $R=[a,b]\times[c,d]$. Gitt en partisjon $\Pi$ av $R$. La $R_{ij}$ betegne det $ij$-te delrektanglet av R.
La videre: $$ \begin{align} m_{ij} & = inf\{f(x,y)|(x,y) \in R_{ij}\}\\ M_{ij} & = sup\{f(x,y)|(x,y) \in R_{ij}\} \end{align} $$ Hvis arealet av $R_{ij}$, dvs $(x_{i-1} - x_i)\cdot (y_{j-1}-y_j)$ betegnes med $\|R_{ij}\|$, og volumet under $f$ på $R_{ij}$ betegnes med $V_{ij}$, så må: $$ m_{ij} \cdot |R_{ij}| \lt V_{ij} \lt M_{ij} \cdot |R_{ij}| $$ For volumet under hele R kan vi nå definere øvre og nedre trappesummer, slik at: $$ N(\Pi)=\sum_0^n\sum_0^m m_{ij}\cdot |R_{ij}| \le V(R) \le \sum_0^n\sum_0^m M_{ij}\cdot |R_{ij}| = Ø(\Pi) $$ Der $V(R)$ er volumet som skal beregnes.
Overintegralet og underintegralet til $f$ over $R$ defineres som: $$ \begin{align} \overline{\iint_R} f(x,y) \ud x \ud y & = sup\{ Ø(\Pi)\ |\ \Pi \textrm{ er en partisjon av R} \}\\ \underline{\iint_R} f(x,y) \ud x \ud y & = sup\{ N(\Pi)\ |\ \Pi \textrm{ er en partisjon av R} \} \end{align} $$ Dersom over- og underintegralet er det samme, defineres $f$ å være integrerbar over R.

En funksjon $f:A\subseteq\R^n\rightarrow\R$ er uniformt kontinuerlig dersom det for enhver $\varepsilon \gt 0$ finnes en $\delta \gt 0$ slik at for alle $\mathbf{u}\ \u{og}\ \mathbf{v} \in A$ og $\|\mathbf{u - v}\| \lt \delta$, så er $\|f(\mathbf{u})-f(\mathbf{v})\| \lt \varepsilon$

Enhver kontinuerlig funksjon er også uniformt kontinuerlig.

Dersom f er kontinuerlig på R, så er f også integrerbar på R. Bevis:
Gitt en partisjon $\Pi$ av R, så vil enhver nedre trappesum være mindre enn eller lik enhver øvre trappesum, dvs: $$ \begin{align} N(\Pi_n) & \le Ø(\Pi_ø)\\ 0 & \le Ø(\Pi_ø) - N(\Pi_n) \end{align} $$ Dette betyr at:
1) Siden mengden av alle øvre trappesummer er begrenset nedad og ikketom, så eksisterer infimum for denne mengden. Tilsvarende for nedre trappesummer.
2) Dersom det kan vises at øvre og nedre trappesummer konvergerer mot samme verdi, så er betingelsene i definisjonen for integrerbarhet oppfylt.
Det holder å vise at gitt en $\varepsilon \gt 0$, så fins en $\Pi$ av R slik at $Ø(\Pi) - N(\Pi) \le \varepsilon$. Hvordan gjør vi det? Siden f er kontinuerlig, og følgelig uniformt kontinuerlig, så fins en $\delta \gt 0$, slik at for to punkter $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v} \in A$ og $|\mathbf{u}-\mathbf{v}| \lt \delta$, så er $|f(\mathbf{u}) - f(\mathbf{v})| \lt \frac{\varepsilon}{m \cdot n}$. Velger vi en $\Pi$ med maskevidde $\lt \delta$, så vil vi for $\mathbf{u}$ og $\mathbf{v} \in \u{R}_{ij}$ ha at $|f(\mathbf{u}) - f(\mathbf{v})| \lt \frac{\varepsilon}{m \cdot n}$ Differansen mellom supremum og infimum til f på $\u{R}_{ij}$ kan ikke være større enn $\frac{\varepsilon}{m \cdot n}$. Vi får dermed at: $$ |\u{M}_{ij} - \u{m}_{ij}| \le \frac{\varepsilon}{m \cdot n} $$ Summerer vi dette over alle rektangler $\u{R}_{ij}$, får vi: $$ \sum_1^n\sum_1^m (\u{M}_{ij} - \u{m}_{ij}) \cdot |\u{R}_{ij}| \le \varepsilon $$